等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的

《等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法(13页珍藏版)》...


《等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法(13页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

1、等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第1节 :等差数列的公式和相关性质1、 等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:(d为公差)(,)注:下面所有涉及,省略,你懂的。2、等差数列通项公式: ,为首项,为公差 推广公式: 变形推广:3、等差中项(1)如果,成等差数列,那么叫做与的等差中项即:或(2)等差中项:数列是等差数列4、等差数列的前n项和公式: (其中A、B是常数,所以当d0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)特别地,当项数为奇数时,是项数为2n+1的等差数列的中间项(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)5、等差数列

2、的判定方法 (1) 定义法:若或(常数) 是等差数列 (2)等差中项:数列是等差数列 (3)数列是等差数列(其中是常数)。(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。6、等差数列的证明方法 定义法:若或(常数) 是等差数列7、等差数列相关技巧:(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。(2)设项技巧:一般可设通项奇数个数成等差,可设为,(公差为);偶数个数成等差,可设为,,(注意;公差为2)8、等差数列的性质:(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函

3、数且常数项为0。(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。(3)当时,则有,特别地,当时,则有。(注:,)当然扩充到3项、4项都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。 (4)、为等差数列,则都为等差数列 (5) 若是等差数列,则 ,也成等差数列 (6) 数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列 (7)、的前和分别为、,则 (8)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n项和,当然也有,则 (9)求的最值法一:因等差数列前项和是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前

4、项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 (2) “首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。若S p=S q则其对称轴为注意:,对于任何数列都适用,但求通项时记住讨论当的情况。解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。(以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明,不是很难,并能够学会运

5、用)第2节 :等比数列的相关公式和性质1、 等比数列的定义:,为公比2、 通项公式:,为首项,为公比推广公式:, 从而得3、等比中项(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项即:或注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)(2)数列是等比数列4、等比数列的前n项和公式:(1) 当时, (2) 当时, (为常数)5、等比数列的判定方法(1)用定义:对任意的n,都有为等比数列 (2) 等比中项:(0)为等比数列(3) 通项公式:为等比数列(4) 前n项和公式:为等比数列6、 等比数列的证明方法依据定义:若或为等比数列7、等比数列相关技巧:(1)等比数列的通项

6、公式及前和公式中,涉及到5个元素:、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:如奇数个数成等比,可设为,(公比为,中间项用表示);注意隐含条件公比的正负8、等比数列的性质:(1) 当时等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数,底数为公比前项和,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若(),则。特别的,当时,得注:(4) 列,为等比数列,则数列,

7、 (k为非零常数) 均为等比数列。(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列,成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, 成等比数列(9) 当时, 当时,, 当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); 当q0时,该数列为摆动数列。(10)在等比数列中, 当项数为2n (n)时,。 (11)若是公比为q的等比数列,则注意:在含有参数的数列时,若是等比数列,一定要考虑到公比的特殊情况。解决等比数列问题时,通常考虑两类方法:基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;巧妙运用等比数列的性质,一般

8、地运用性质可以化繁为简,减少运算量。关于等差、等比两个引申:模式(其中为常数,);模式(其中为常数,)在这里我们以具体的例子给出,使其更容易理解:例1 已知数列,有(),则求该数列的通项公式 解题大致思路:先设,则对于,那么我们就可以构造数列为等比数列,利用等比的相关性质去解决,注意:构造新数列的首项和公比分别是多少?还有你考虑到当的这种情况了吗?例2 已知数列,有(),求该数列的通项公式解题的大致思路:(),相信你已经知道构造什么数列了吧,这两个模式考试中喜欢考,也比较基础,当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。第3节 :数列的求和方法(引用别人的,稍加改进)一、教学目标:

9、1、熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式; 2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算; 3、熟记一些常用的数列的和的公式二、教学重点:特殊数列求和的方法三、教学过程:(一)主要知识:1、直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。(1)等差数列的求和公式: (2)等比数列的求和公式(切记:公比含参数时一定要讨论)2、公式法: (证明利用立方差公式,将,错位相消即可整体得出) (证明利用4方差,原理同上)3、错位相减法:比如4、裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式: ; 5、分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等

10、比数列,再求和。6、合并求和法:如求的和。7、倒序相加法:如求的和。8、其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等等(二)主要方法:1、求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2、求和过程中注意分类讨论思想的运用;3、转化思想的运用;(三)例题分析:例1求和: 求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,前n项和思路分析:通过分组,直接用公式求和。解:(1)当时,(2)当总结:运用等比数列前n项和公式时,要注意公比讨论。2、错位相减法求和例2已知数列,求前n项和。思路分析:已知数列各项是等差数列1,3,5,2n-1与等比数列对应项积,可用错位相减法求和。解: 当 当3、裂项相消法求和例

11、3.求和思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解: 练习:求 答案: 4、倒序相加法求和例4求证:思路分析:由可用倒序相加法求和。证:令则 等式成立5、其它求和方法还可用归纳猜想法,奇偶法等方法求和。例5已知数列。思路分析:,通过分组,对n分奇偶讨论求和。解:,若若预备:已知成等差数列,n为正偶数,又,试比较与3的大小。解:可求得,n为正偶数,(四)巩固练习:1求下列数列的前项和:(1)5,55,555,5555,; (2);(3); (4);(5); (6)解:(1)(2),(3)(4), 当时, 当时, , , 两式相减得 ,(5), 原式(6)设, 又, ,2已知数列的通项,求其前项和解:奇数项组成以为首项,公差为12的等差数列,偶数项组成以为首项,公比为4的等比数列;当为奇数时,奇数项有项,偶数项有项,当为偶数时,奇数项和偶数项分别有项, ,所以,四、小结:1、掌握各种求和基本方法;2、利用等比数列求和公式时注意分讨论。其实学习数列并不难,只要能熟练掌握以上基本性质和公式灵活运用,多加练习,基本上能解决高中所有数列问题了。

加载中...

相关文章